構成的ガロア理論

概要

学部での数学の授業に引続くトピックとして,構成的ガロア理論の入門的内容を講義する。ガロア理論では所与の多項式のガロア群を決定することがまず大きな問題となるが,その逆方向として,所与の有限群に対してそれをガロア群に持つ多項式の存在を問うのが「ガロアの逆問題」である。特にそのような多項式の具体的な構成を重視するとき「構成的ガロア理論」と呼ばれる。本講義では,ガロア理論の復習から始めて,構成的ガロア理論の基本事項として,クンマー拡大・ヒルベルトの既約性定理・生成的多項式・ネーター問題などの話題から,基本的な内容を選んで紹介する。 講義中心で行なう。演習課題に関して受講生による板書発表も取り入れる予定。 理工学専攻数学領域(博士前期課程)のCP2前半「数学領域が提供する解析学・代数学・幾何学・数理統計などに関する科目を受講し,これらについて専門知識を得させる」に当たる科目である。

目標

・構成的ガロア理論に触れるとともに,そこで用いる基礎事項の理解を確認すること。 ・数学的視野を広げるとともに,修士論文に向けた取組みに活かすこと。 理工学専攻数学領域(博士前期課程)のDP2「数学および関連分野において最先端で活躍できる専門知識」「真理の探究・理論の発展およびそれを広く社会や次世代に伝えることのできる力」を身につける。

授業外の学習

各自の専門分野の学修を通じて,本講義の内容を活かしてもらいたい。特に予習を必要とはしない。復習は大切であろう。講義中に詳細を省略した部分などを補ったり,具体例について自分で計算してみたりするのが,復習としてよい演習になるだろう(週２～４時間程度)。演習課題に関する板書発表にも準備をして臨まれたい(数回１時間程度)。

所要時間: ３～４時間程度